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PROBLÈMES.

${\begin{array}{rr}\qquad 3&\ldots \ {\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}.{\frac {m-2}{3}}\left(2^{m-3}-2\right),\\\end{array}}$

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

${\begin{array}{rr}m-2&\ldots \ldots \ldots \ldots {\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}\left(2^{2}-2\right),\\m-1&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots {\frac {m}{1}}.\left(2-2\right),\\\end{array}}$

à la vérité, il est impossible d’admettre $m-1$ choses à la première part, lorsqu’il en faut faire trois ; mais aussi le facteur $2-2$ réduit à zéro le nombre des systèmes de répartition qui convient à ce cas.

Le nombre total des modes de répartition possibles en trois parts sera donc la somme de tous ces nombres ; mais cette somme se décompose dans les deux séries que voici

${\frac {m}{1}}2^{m-1}+{\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}2^{m-2}+{\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}.{\frac {m-2}{3}}2^{m-3}+\ldots +{\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}2^{2}+{\frac {m}{1}}2,$

$-2\left({\frac {m}{1}}+{\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}+{\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}.{\frac {m-2}{3}}+\ldots +{\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}+{\frac {m}{1}}\right)\,;$

la somme de la première est évidemment

$(2+1)^{m}-2^{m}-1=3^{m}-2^{m}-1,$

et celle de la seconde

$-2\left[(1+1)^{m}-2\right]=-2.2^{m}+4\,;$

réunissant donc ces deux sommes, nous aurons pour le nombre total des systèmes de répartition de nos $m$ choses en trois parts