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DE COMBINAISON.

$(r+1)^{m}-2=2^{m}-2.$

Il est clair d’ailleurs, que ces divers systèmes d« répartition ne différeront deux à deux que par le rang des deux mêmes parts dont la première dans l’un sera la seconde dans l’autre.

S’agit-il de faire trois parts ? si l’on veut composer la première de $k$ choses, cela se pourra d’un nombre de manières exprimé par

${\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}.{\frac {m-2}{3}},\ldots {\frac {m-k+1}{k}}\,;$

il restera ensuite à répartir en deux parts les $m-k$ choses restantes ; ce qui, d’après ce qui précède ; pourra se faire d’un nombre de manières exprimé par

$2^{m-k}-2\,;$

ainsi le nombre total des systèmes de répartition où la première part sera composée de $k$ choses sera donc

${\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}\ldots {\frac {m-k+1}{k}}\left(2^{m-k}-2\right)\,;$

faisant donc successivement, dans cette formule, $k=1,2,3,\ldots$$m-2,m-1,$ on aura, pour le nombre des systèmes de répartition relatif à chaque nombre de choses adopté à la première part, savoir :

${\begin{array}{rr}{\text{Pour }}1&{\text{chose}}\ldots \ldots \ldots {\frac {m}{1}}\left(2^{m-1}-2\right),\\\\2&\ldots \ldots \ldots {\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}\left(2^{m-2}-2\right),\\\\\end{array}}$