Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1820-1821, Tome 11.djvu/157

Le texte de cette page a été corrigé et est conforme au fac-similé.

149

DE PARIS.

celle que nous avons considérées, un angle constant avec l’axe transverse de la courbe ; puis donc que cet axe transverse est constamment parallèle à lui-même, et qu’il en est de même du plan qui contient cet axe et l’asymptote, il en résulte que les asymptotes des diverses sections doivent être parallèles chacune à chacune^[1].

Pour répondre à la seconde partie du problème, on supposera égaux les deux demi diamètres principaux ; ce qui donnera $a\operatorname {Tang} .\alpha =a,$ ou $\operatorname {Tang} .\alpha =1,$ ou, $\alpha =45^{\circ },$ comme on pouvait bien s’y attendre. Ainsi, pour construire le cône droit dans lequel les sections parallèles à l’axe sont des hyperboles équilatères, il ne s’agit que de prendre sa hauteur égale au rayon de sa base^[2].

↑ Il est connu que toutes les sections parallèles faites, non seulement dans un cône droit, mais même dans un cône oblique ou dans une surface conique quelconque, sont des courbes semblables et semblablement situées tant entre elles que par rapport au sommet de la surface, qui en est un point homologue commun.
On voit par là que, si le plan parallèle à ceux des sections, conduit par le sommet, passe dans l’intérieur de la surface conique, auquel cas il la coupe suivant des droites, les sections seront des courbes à asymptotes rectilignes dont les asymptotes seront respectivement parallèles à ces droites, et par suite parallèles chacune à chacune d’une section à l’autre ; ainsi la proposition est vraie pour des sections parallèles faites sous une inclinaison quelconque, dans une surface conique quelconque.

Dans le cas particulier du problème proposé, les asymptotes des diverses, sections sont toutes parallèles aux droites déterminées dans le cône par un plan conduit par son axe, parallèlement à ceux des sections, et les projections orthogonales de ces droites sur les plans des diverses sections sont les asymptotes même de ces sections. Ainsi, non seulement ces asymptotes sont parallèles, mais elles sont toutes situées sur les deux faces d’un même angle dièdre circonscrit au cône, et dont l’arête est horizontale.
J. D. G.
↑ Plus généralement, si, sur une base circulaire donnée, on voulait construire un cône oblique tel que les asymptotes des sections hyperboliques faites dans

[1] Il est connu que toutes les sections parallèles faites, non seulement dans un cône droit, mais même dans un cône oblique ou dans une surface conique quelconque, sont des courbes semblables et semblablement situées tant entre elles que par rapport au sommet de la surface, qui en est un point homologue commun.
On voit par là que, si le plan parallèle à ceux des sections, conduit par le sommet, passe dans l’intérieur de la surface conique, auquel cas il la coupe suivant des droites, les sections seront des courbes à asymptotes rectilignes dont les asymptotes seront respectivement parallèles à ces droites, et par suite parallèles chacune à chacune d’une section à l’autre ; ainsi la proposition est vraie pour des sections parallèles faites sous une inclinaison quelconque, dans une surface conique quelconque.

Dans le cas particulier du problème proposé, les asymptotes des diverses, sections sont toutes parallèles aux droites déterminées dans le cône par un plan conduit par son axe, parallèlement à ceux des sections, et les projections orthogonales de ces droites sur les plans des diverses sections sont les asymptotes même de ces sections. Ainsi, non seulement ces asymptotes sont parallèles, mais elles sont toutes situées sur les deux faces d’un même angle dièdre circonscrit au cône, et dont l’arête est horizontale.
J. D. G.

[p157-2] Plus généralement, si, sur une base circulaire donnée, on voulait construire un cône oblique tel que les asymptotes des sections hyperboliques faites dans

[1]

[2]