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CONCOURS

cette trace avec ${\rm {SG}}$ et ${\rm {SH\ ;\ C}}$ le pied de la perpendiculaire abaissée de ${\rm {S}}$ sur ${\rm {AB\,;\ \alpha }}$ l’angle générateur du cône ; et enfin $2a$ la longueur ${\rm {AB.}}$

Soit pris le plan coupant pour celui des coordonnées rectangulaires ; ${\rm {AB}}$ étant l’axe des $x$ et le point ${\rm {A}}$ l’origine ; et les $x$ positives étant comptées de ${\rm {A}}$ vers ${\rm {P.}}$ Soient, en conséquence $\mathrm {AP} =x$ et $\mathrm {PM} =y.$

Les triangles rectangles ${\rm {APG,BPH}}$ donnent

${\begin{aligned}\mathrm {PG} &=\mathrm {AP} \operatorname {Tang} .\alpha =x\operatorname {Tang} .\alpha ,\\\mathrm {PH} &=\mathrm {BP} \operatorname {Tang} .\alpha =(2a+x)\operatorname {Tang} .\alpha \,;\end{aligned}}$

mais on a

${\overline {\mathrm {MP} }}^{2}\quad$ou$\quad y^{2}=\mathrm {PG.PH} \,;$

donc

$y^{2}=\left(2ax+x^{2}\right)\operatorname {Tang} .^{2}\alpha \,;$

telle est donc l’équation de la courbe, que l’on reconnaît être une hyperbole.

Si l’on veut transporter l’origine en ${\rm {C,}}$ il faudra changer $x$ en $x-a,$ et l’équation deviendra

$y^{2}=\left(x^{2}-a^{2}\right)\operatorname {Tang} .^{2}\alpha \,;$

équation d’une hyperbole rapportée à ses diamètres principaux, et dans laquelle le demi-second axe a pour longueur $a\operatorname {Tang} .\alpha .$

Donc, d’après les théories connues, l’équation commune aux deux asymptotes de la courbe est

$y=\pm x\operatorname {Tang} .\alpha \,;$

ces asymptotes font donc, pour toutes les sections parallèles à