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CONCOURS DE PARIS.

GÉOMÉTRIE ÉLÉMENTAIRE.

Solution des problèmes proposés au Concours général
des élèves de mathématiques spéciales de Paris,
le 10 de juillet 1820 ;

Par M. Treuil, professeur de mathématiques au collège
royal de Versailles, et à l’école royale militaire de Saint-Cyr.

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PROBLÈME I. Un cercle étant donné, dans un plan horizontal, on demande,

1.^o De faire voir que, si l’on coupe un cône droit, dont ce cercle soit la base, par une suite de plans parallèles et verticaux, les sections résultantes seront des hyperboles qui auront leurs asymptotes parallèles ?

2.^o De trouver sur la verticale élevée par le centre du cercle le point où il faut placer le sommet pour que les hyperboles dont il s’agit soient équilatères ?

Solution. Soient ${\rm {S}}$ (fig. 7) le sommet du cône ; ${\rm {O}}$ un quelconque des points de son axe, par lequel soit conduit un plan horizontal ; ${\rm {GH}}$ un diamètre de cette section, perpendiculaire au plan coupant, ${\rm {MN}}$ la trace du plan coupant sur cette même section circulaire ; ${\rm {P}}$ l’intersection de $\mathrm {MN}$ et ${\rm {GH\ ;\ AB}}$ la trace du plan coupant sur le plan du triangle ${\rm {GSH\ ;\ A}}$ et ${\rm {B}}$ les intersections de