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RÉTICULE.

On pourrait objecter contre l’emploi de tous les réticules, en général, que les observations ne donnent que les arcs dont les droites interceptées entre les fils sont les tangentes, et qu’on leur applique cependant le calcul comme si c’était ces tangentes même. Examinons cette cause d’erreur, et cherchons à en apprécier la faible influence. L’expression de la tangente, en fonction de l’arc étant

$y^{2}=\operatorname {Cot} .^{2}D'-(a+x)^{2},\qquad J'=J+A,$
$y'^{2}=\operatorname {Cot} .^{2}D'-+x^{2},\qquad x+a=\operatorname {Cot} .D\operatorname {Sin} .J',$
$(y-y')^{2}+a^{2}=b'^{2}.$

Substituant, dans cette dernière équation, pour $y,y'$ leurs valeurs, il viendra

$-2{\sqrt {\left[\operatorname {Cos} .^{2}D'-x^{2}\right]\left[\operatorname {Cos} .^{2}D'-(x+a)^{2}\right]}}+\operatorname {Cos} .^{2}D'-x^{2}-(x+a)^{2}+a^{2}=b'^{2}\,;$

ou, en transposant et quarrant,

$4\left\{\operatorname {Cot} .^{4}D'-\left[x^{2}+(x+a)^{2}\right]\operatorname {Cot} .^{2}D'+x^{2}(x+a)^{2}\right\}$
$=\left[2\operatorname {Cot} .^{2}D'-x^{2}-(x+a)^{2}+a^{2}-b'^{2}\right]^{2}$
$=4\left\{\operatorname {Cot} .^{4}D'-\left[x^{2}+(x+a)^{2}-a^{2}+b'^{2}\right]\operatorname {Cot} .^{2}D'+\left(x^{2}+ax+{\frac {1}{2}}b'^{2}\right)^{2}\right\},$

ou, en réduisant,

$\left(b'^{2}-a^{2}\right)\operatorname {Cot} .^{2}D'=\left(x^{2}+ax+{\frac {1}{2}}b'^{2}\right)^{2}-x^{2}(x+a)^{2}={\frac {1}{4}}b'^{2}\left(4x^{2}+4ax+b'^{2}\right).$

En posant, pour abréger,

$\operatorname {Tang} .x'={\frac {2x+a}{\sqrt {b'^{2}-a^{2}}}},$

on tire de là

$\operatorname {Cot} .D'={\frac {1}{2}}b'{\sqrt {\frac {4x^{2}+4ax+b'^{2}}{b'^{2}-a^{2}}}}={\frac {1}{2}}b'{\sqrt {{\frac {(2x+a)^{2}}{b'^{2}-a^{2}}}+1}}$
$={\frac {1}{2}}b'{\sqrt {1+\operatorname {Tang} .^{2}{\frac {1}{2}}x'}}={\frac {b'}{2\operatorname {Cos} .x'}},$

et par suite