Le point , considéré comme intersection de et est donc encore le centre de similitude externe des deux cercles dont les centres sont deux quelconques des centres de similitude internes sont donc en ligne droite avec l’un des centres de similitude externes ; ce qui démontre la seconde partie du théorème[1].
13. À l’avenir, nous appellerons axe de similitude de trois cercles, toute droite qui contiendra trois de leurs centres de similitude. Cette droite sera dite axe de similitude externe, lorsqu’elle contiendra les trois centres de similitude externe ; elle sera dite, au contraire, axe de similitude interne, lorsqu’elle contiendra un seul de ces centres, avec deux centres de similitude internes. Il est aisé de voir que chacun de ces axes est semblablement placé par rapport aux trois cercles : ce qui justifie leur dénomination.
14. Notre théorème peut, entre autres applications, servir à déterminer les centres de similitude de deux cercles, dans les cas que nous avons exceptés (11). Pour y parvenir, on décrira arbitrairement un troisième à la fois extérieur aux deux cercles donnés ; on déterminera (11) ses centres de similitude, tant internes qu’externes, avec chacun d’eux ; alors, 1.o , en joignant par une droite deux centres de similitude de même dénomination ; cette droite coupera la droite qui joint leurs centres au centre de similitude externe ; 2.o en joignant, au contraire, par une droite deux centres de similitude de dénominations contraires, cette droite, par son intersection avec celle qui joint les centres des deux cercles, fera connaître le centre de similitude interne[2].
