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RÉSOLUES.

${\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}=t{\sqrt {-3}}$

ainsi pour que les racines de la proposée soient toutes trois réelles, il est d’abord nécessaire que

$-{\frac {1}{3}}\left({\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}\right),$

soit un quarré parfait ; mais cette condition ne saurait suffire.

Au moyen de cette transformation les quantités $A,B$ deviennent

$-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {-3}},\qquad -{\frac {q}{2}}-t{\sqrt {-3}},$

mais doivent-elles être des cubes parfaits ? il paraît bien que oui ; mais ce n’est pas tout que de le soupçonner, et on pourrait fort bien objecter que peut-être, en développant leurs leurs racines en séries, ce qui donnerait évidemment pour les trois valeurs de $x$ des termes rationnels, les séries résultantes pourraient bien être de la classe de celles qu’on sait sommer rationnellement, lors même que $A$ et $B$ ne sont pas des cubes parfaits.

Admettons pourtant, bien que nous ne l’ayons pas démontré que la condition de rationnalité des racines de la proposée exige que $A$ et $B$ soient des cubes parfaits, et voyons de quoi dépend cette nouvelle condition. On sait par la théorie de l’extraction des racines des quantités en partie rationnelles et en partie radicales, que, pour qu’une fonction de la forme $G+{\sqrt {H}}$ soit exactement le cube d’une autre fonction de la forme $g+{\sqrt {h}},$ il faut d’abord que $G^{2}-H$ soient un cube parfait, condition qui, à la vérité, est toujours remplie pour $A$ et $B\,;$ mais on sait aussi que cette