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QUESTIONS

et quelle sorte de difficulté j’ai rencontrée. J’avais pris l’équation

$x^{3}+px+q=0,$

attendu qu’il est toujours facile de passer de celle-là à l’autre. On sait que les racines de cette équation sont de la forme

$x={\sqrt[{3}]{A}}+{\sqrt[{3}]{B}},\qquad x=\alpha {\sqrt[{3}]{A}}+\beta {\sqrt[{3}]{B}},\qquad x=\beta {\sqrt[{3}]{A}}+\alpha {\sqrt[{3}]{B}}\,;$

$\alpha ,\beta$ étant les racines cubiques imaginaires de l’unité et $A,B$ les racines de l’équation

$27x^{2}+27qx-p^{3}=0,$

qui, dans le cas dont il s’agit, doit, comme l’on sait, avoir ses racines imaginaires, ce qui exige qu’on ait

$27q^{2}+4p^{3}<0.$

L’équation aux quarrés des différences, qui est

$y^{3}+6py^{2}+9p^{2}y+\left(27q^{2}+4p^{3}\right)=0,$

prouve de plus que cette quantité doit être égale à un quarré négatif. Représentant donc par $18t$ la racine de ce quarré, nous aurons

$27q^{2}+4p^{3}=-324t^{2}$

d’où