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PROPOSÉES.

cuter le calcul de la transformation, et s’il ne vaudrait pas au moins autant faire immédiatement l’essai sur la proposée elle-même.

Que si l’on insistait, et si on demandait la condition de rationnalité d’une équation du troisième degré sans second terme, cela reviendrait à faire la même question pour celle du second ; et de même que, pour que l’équation ait ses racines rationnelles, il est nécessaire et il suffit de trouver pour $t$ une valeur qui rende la fonction $t^{2}$ égale à $-p,$ pour que l’équation

$t^{3}+pt+q=0\,;$

ait ses racines rationnelles, il sera nécessaire et il suffira de trouver pour $t$ deux valeurs au moins qui rendent la fonction $t(t^{2}+p)$ égale à $-q.$ Voilà je crois toute la réponse qu’on peut raisonnablement faire à la question proposée, pour le troisième degré ; et je ne pense pas qu’on en ait de plus satisfaisantes à se promettre pour les degrés plus élevés. On pourra bien, à la vérité, indiquer certaines relations entre les coefficiens qui rendent les racines rationnelles, et on aura ainsi des conditions suffisantes ; mais je doute que l’on parvienne jamais à prouver que ces conditions sont nécessaires.^[1]

Voici, au surplus, de quelle manière j’avois attaqué la question

1. Quelqu’un nous avait bien adressé une solution du problème ; mais, outre que les principes ne nous en ont pas paru assez solidement établis, on n’a pas démontré que les conditions que l’on assignait, suffisantes, à la vérité, étaient également nécessaires ; et il est même douteux qu’elles le soient.
   J. D. G.