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INTÉGRATION

$p=A+Bx+(2B-A)x^{2}=A\left(1-x^{2}\right)+Bx(1+2x)\,;$

où $A$ et $B$ sont les deux constantes arbitraires que comporte l’intégrale.

L’équation en $q,$ traitée de la même manière, donnera

$q=A'\left(1-x^{2}\right)+B'x(1-2x),$

où $A'$ et $B'$ seront les deux constantes.

18. On tirera de là

${\frac {\operatorname {d} p}{\operatorname {d} x}}=-2Ax+B(1+4x),\qquad {\frac {\operatorname {d} q}{\operatorname {d} x}}=-2A'x+B'(1-4x)\,;$

en se rappelant qu’ici

${\begin{alignedat}{3}2V=&2x-2x^{3};\qquad &R=&1+4x-3x^{2},\qquad &S=&1+4x+x^{2},\\&&R'=&1-4x-3x^{2},&S'=&1-4x+x^{2},\end{alignedat}}$

et substituant (11) dans les équations du premier ordre en $p$ et $q,$ il viendra ; en réduisant,

${\begin{aligned}(A-A')\left(1-x^{2}\right)-(B+B')x(1-2x)&=0,\\(A-A')\left(1-x^{2}\right)+(B+B')x(1+2x)&=0.\\\end{aligned}}$

Ces relations devant subsister quel que soit $x,$ nous ferons successivement $x=0,\ x=1\,;$ et les deux équations donneront également $A'=A,$$B'=-B\,;$ de sorte que nous aurons

$p=A\left(1-x^{2}\right)+Bx(1+2x),$