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DES ÉQUATIONS.

${\begin{aligned}Q\operatorname {d} P'-Q'\operatorname {d} P&={\frac {1}{2}}(X'\operatorname {d} x-\operatorname {d} V),\\P\operatorname {d} Q'-P'\operatorname {d} Q&={\frac {1}{2}}(X'\operatorname {d} x+\operatorname {d} V).\\\end{aligned}}$

9. Prenant successivement ; 1.^o la somme des produits respectifs des première et troisième équations par $+Q$ et $-P\,;$ 2.^o la somme des produits respectifs des deuxième et quatrième par $-P$ et $+Q\,;$ 3.^o la somme des produits respectifs des première et troisième par $+Q'$ et $-P'\,;$ 4.^o enfin la somme des produits respectifs des deuxième et quatrième par$-P'$ et $+Q',$ et remplaçant chaque fois $PQ'-QP'$ (7) par sa valeur $V,$ il viendra

${\begin{aligned}2V\operatorname {d} P&=P\operatorname {d} V+(2XQ-X'P)\operatorname {d} x,\\2V\operatorname {d} Q&=Q\operatorname {d} V-(2X''P-X'Q)\operatorname {d} x,\\2V\operatorname {d} P'&=P'\operatorname {d} V+(2XQ'-X'P')\operatorname {d} x,\\2V\operatorname {d} Q'&=Q'\operatorname {d} V-(2X''P'-X'Q')\operatorname {d} x.\\\end{aligned}}$

Nous avons donc décomposé notre problème à quatre inconnues en deux problèmes à deux inconnues, puisque les deux premières équations ne renferment plus que $P$ et $Q\,;$ et les deux dernières $P'$ et $Q'.$ Pour mieux dire, nous l’avons réduit à un seul problème à deux inconnues, puisque les deux dernières équations ne différent uniquement des deux premières qu’en ce que $P'$ et $Q'$ y ont pris la place de $P$ et $Q$ respectivement. Nous sommes donc fondés à en conclure que si $P$ et $P'$ ne sont pas racines d’une même équation du second degré, ils ne différeront au moins que par des constantes ; et on peut en dire autant de $Q$ et $Q'.$

10. En prenant successivement la somme et la différence, d’abord