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PROBL.^s DU CONC.^rs DES COLLÉGES ROYAUX DE PARIS.

volumes de tous les tétraèdres qui ont un volume constant et un angle trièdre constant donnés ?

Solution. Soit pris l’angle trièdre constant donné pour angle des coordonnées positives ; désignons par $\alpha ,\beta ,\gamma$ ses trois angles plans, et soient $X,Y,Z$ les longueurs des arêtes respectivement opposées ; soit enfin $T$ le volume constant dont il s’agit ; nous aurons, par un théorème connu,

XYZ{\sqrt {1-\operatorname {Cos} .^{2}\alpha -\operatorname {Cos} .^{2}\beta -\operatorname {Cos} .^{2}\gamma +2\operatorname {Cos} .\alpha \operatorname {Cos} .\beta \operatorname {Cos} .\gamma }}=6T,

Mais, si nous désignons par $x,y,z$ les coordonnées du centre de gravité, nous aurons, par une propriété connue de ce centre,

X=4x,\qquad Y=4y,\qquad Z=4z\,;

Substituant donc, l’équation du lieu cherché sera

64xyz{\sqrt {1-\operatorname {Cos} .^{2}\alpha -\operatorname {Cos} .^{2}\beta -\operatorname {Cos} .^{2}\gamma +2\operatorname {Cos} .\alpha \operatorname {Cos} .\beta \operatorname {Cos} .\gamma }}=6T\,;

équation d’une surface du troisième ordre, ayant les plans coordonnés pour plans asymptotiques^[1].

↑ Nous nous abusons peut-être ; mais le problème proposé aux élèves de mathématiques élémentaires nous paraît, à lui seul, plus difficile et plus susceptible de développemens et de détails, que ne le sont ensemble les deux qui ont été proposés aux élèves de mathématiques spéciales. Il se peut, au surplus, que les géomètres qui en ont fait le choix, aient aperçu quelque manière simple de le résoudre, qui aura également échappé à M. Francœur et à nous.

[1] Nous nous abusons peut-être ; mais le problème proposé aux élèves de mathématiques élémentaires nous paraît, à lui seul, plus difficile et plus susceptible de développemens et de détails, que ne le sont ensemble les deux qui ont été proposés aux élèves de mathématiques spéciales. Il se peut, au surplus, que les géomètres qui en ont fait le choix, aient aperçu quelque manière simple de le résoudre, qui aura également échappé à M. Francœur et à nous.

[1]