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DES COLLÉGES ROYAUX DE PARIS.

$M={\frac {\mathrm {CG} \pm {\sqrt {{\overline {\mathrm {CG} }}^{2}-4a^{2}}}}{2a}},\qquad M={\frac {-\mathrm {CG} '\pm {\sqrt {{\overline {\mathrm {CG'} }}^{2}-4a^{2}}}}{2a}}\,;$

et de là, à cause de $\mathrm {OB} =(1-M)a$

$\mathrm {OB} =-\left({\frac {1}{2}}\mathrm {CG} -a\right)\pm {\sqrt {{\frac {1}{4}}{\overline {\mathrm {CG} }}^{2}-a^{2}}},$

$\mathrm {OB} =+\left({\frac {1}{2}}\mathrm {CG} '+a\right)\pm {\sqrt {{\frac {1}{4}}{\overline {\mathrm {CG'} }}^{2}-a^{2}}},$

longueurs faciles à construire, et dont la détermination résout le problème.

PROBLÈME II. Quel est le lieu des centres de gravité des aires de tous les triangles qui ont une aire constante et un angle constant donnés ?

Solution. Soit pris l’angle constant donné, que nous désignerons par $\gamma$ pour angle des coordonnées positives ; soient $X,Y$ les deux côtés qui le comprennent, et soit $T$ l’aire constante dont il s’agit ; nous aurons, par un théorème connu,

$XY\operatorname {Sin} .\gamma =2T.$

Mais, si nous désignons par $x,y$ les coordonnées du centre de gravité, nous aurons, par une propriété connue de ce centre,

$X=3x,\qquad Y=3y$

substituant donc, l’équation du lieu cherché sera

$9xy\operatorname {Sin} .\gamma =2T\,;$

équation d’une hyperbole facile à construire, et dont les axes des coordonnées sont les asymptotes.

PROBLÈME III. Quel est le lieu des centres de gravité des