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DES COLLÉGES ROYAUX DE PARIS.

distance entre deux points, dans le cas des coordonnées obliques, on trouvera facilement

${\overline {\mathrm {PA} }}^{2}={\frac {a^{2}}{M^{2}}}\left(1+2M\operatorname {Cos} .\gamma +M^{2}\right),\qquad {\overline {\mathrm {PB} }}^{2}=a^{2}\left(1+2M\operatorname {Cos} .\gamma +M^{2}\right)\,;$

puis donc qu’on doit avoir

${\overline {\mathrm {PA} }}^{2}+{\overline {\mathrm {PB} }}^{2}=b^{2}$

l’équation qui devra déterminer $M$ sera

$a^{2}\left({\frac {1}{M^{2}}}+1\right)\left(1+2M\operatorname {Cos} .\gamma +M^{2}\right)=b^{2},$

ou bien

$a^{2}\left(1+M^{2}\right)\left(1+2M\operatorname {Cos} .\gamma +M^{2}\right)=b^{2}M^{2}.\qquad$(2)

Cette équation développée devient

$a^{2}M^{4}+2a^{2}M^{3}\operatorname {Cos} .\gamma +\left(2a^{2}-b^{2}\right)M^{2}+2a^{2}M\operatorname {Cos} .\gamma +a^{2}=0\,;$

équation complète du quatrième degré ; mais qui, étant réciproque, ne comporte que la difficulté du second. Rien ne serait plus facile d’ailleurs que de se rendre raison de cette circonstance.

En divisant donc tous les termes de cette équation par $M^{2},$ elle prendra cette forme

$a^{2}\left(M^{2}+{\frac {1}{M^{2}}}\right)+2a^{2}\left(M+{\frac {1}{M}}\right)\operatorname {Cos} .\gamma +\left(2a^{2}-b^{2}\right)=0\,;$

et ensuite celle-ci

$a^{2}\left(M+{\frac {1}{M}}\right)^{2}+2a^{2}\left(M+{\frac {1}{M}}\right)\operatorname {Cos} .\gamma -b^{2}=0.$

Posant donc $M+{\frac {1}{M}}=z,$ nous aurons