sont donc semblables ; et, puisque est le tiers de et doivent être respectivement le tiers de et donc aussi sont les tiers respectifs de ou les moitiés de donc le point est le milieu de ce qui démontre une propriété connue du centre de gravité, d’après la définition admise dans l’énoncé du problème.
Soient pris les deux côtés de l’angle donné pour les axes des coordonnées ; et en conséquence, soient faits on aura Mais l’aire on aura donc, en substituant,
La courbe cherchée est donc une hyperbole dont les asymptotes sont les côtés de l’angle donné, et dont la puissance est constante connue.
Pour construire cette courbe, on prendra (fig. 7) ; on formera le lozange dont le sommet sera le sommet de l’hyperbole, ayant pour asymptotes les côtés de l’angle donné. La courbe sera donc complètement déterminée. Elle aura d’ailleurs, pour les longueurs de ses demi-diamètres principaux, Les diagonales et du lozange dont il vient d’être question.
Dans le sens strict de l’énoncé du problème, l’autre branche d’hyperbole, comprise dans l’opposé au sommet de l’angle est inutile à sa solution ; mais cette branche, ainsi que les hyperboles conjuguées à la première que l’on construirait dans les deux supplémens de l’angle devraient entrer en considération, dans le cas où l’on donnerait au problème cet énoncé général :
Deux droites fixes d’une longueur indéfinie se coupant sur un plan sous un angle donné, et une autre droite, aussi indéfinie, étant mue sur ce plan, de manière à former, avec les deux premières, un triangle dont l’aire soit donnée et constante ; quel est le lieu du centre de gravité de l’aire de ce triangle ?
