en d’autres termes, ne pourrait-il pas arriver, quelquefois du moins, que la somme des termes de cette série eût une limite inférieure d’une quantité finie à la plus petite des racines positives ? Je réponds que non. Tant qu’il existe une variation dans la dernière transformée, rien n’empêche d’en faire de nouvelles qui transportent l’origine sur la droite. Supposons, en effet, l’existence de ce point vraiment singulier ; que soit sa distance à l’origine ; en mettant pour dans la proposée, l’origine se trouvera transportée au-delà de ce point, et plus voisine que lui de l’intersection qu’il s’agit d’assigner ; mais toujours à sa gauche, si est suffisamment petit ; l’équation aura donc encore au moins une variation ; et rien ne s’opposera à ce qu’on fasse de nouvelles transformées ; d’où nous nous croyons fondés à conclure que le point en question est tout-à-fait chimérique.
Je réponds qu’après un certain nombre de transformées, la dernière n’aura plus de variations. En effet, les valeurs de ne peuvent devenir nulles que lorsque peut le devenir et ne peut le devenir dans l’hypothèse où l’équation n’a aucune racine réelle positive, puisque l’axe ne rencontre aucune branche du côté des positifs. En appelant la limite supérieure positive ; il arrivera un point où l’on aura ou et alors la transformée n’aura plus que des permanences.
On peut démontrer la même proposition, en observant que, dans l’hypothèse dont il s’agit, la proposée est de cette forme
et il est clair que la substitution de pour doit
