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INTÉGRATION

nous nous proposons de montrer ici comment, en suivant l’esprit de la même méthode, on peut parvenir à intégrer, avec le même degré d’approximation, toute équation différentielle d’ordre et de degré quelconque, entre deux variables $x,y.$ Ce sujet semble devoir mériter d’autant plus d’intérêt que notre indigence, relativement à cette branche d’analise, n’est malheureusement que trop bien connue : que les équations généralement intégrables se réduisent à un très-petit nombre de classes ; et qu’encore leurs intégrales ne sont, pour la plupart, que des équations compliquées et transcendantes, dont on ne saurait, le plus souvent, tirer aucun parti, pour obtenir la valeur de l’une des variables en fonction de l’autre.

Soit une équation différentielle quelconque, représentée généralement par

$\mathrm {F} \left(x,y,{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}},{\frac {\operatorname {d^{2}} y}{\operatorname {d} x^{2}}},{\frac {\operatorname {d^{3}} y}{\operatorname {d} x^{3}}}\ldots ,{\frac {\operatorname {d} ^{n}y}{\operatorname {d} x^{n}}}=0\right)\,;\qquad$(1)

si son intégrale pouvait être obtenue, et si cette intégrale était résoluble par rapport à $y,$ on en tirerait, pour cette variable, une expression de cette forme

$y=f\left(x,C_{1},C_{2},C_{3},\ldots C_{n}\right),\qquad$(2)

laquelle, après avoir déterminé les constantes $C_{1},C_{2},C_{3},\ldots C_{n},$, par $n$ conditions distinctes, prendrait cette nouvelle forme

$y=\varphi \left(x\right)\,;\qquad \qquad$(3)

et alors seulement il deviendrait possible d’assigner, soit exactement, soit par approximation, la valeur $b$ de $y$, répondant à une valeur quelconque $a$ attribuée à $x\,;$ cette valeur serait, en effet,

$b=\varphi \left(a\right).\qquad \qquad$(4)