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DU POLYÈDRE.

$\operatorname {Cos} .(p'',p)=-\operatorname {Cos} .(f'',f).$

La résultante $r$ des trois puissances $p,p',p''$ sera^[1] donnée par l’équation

$r^{2}=p^{2}+p'^{2}+p''^{2}+2p'p''\operatorname {Cos} .(p',p'')+2p''p\operatorname {Cos} .(p'',p)+2pp'\operatorname {Cos} .(p,p')\,;$

et elle fera, avec les composantes, des angles $\theta ,\theta ',\theta '',$ données par les formules

${\begin{aligned}\operatorname {Cos} .\theta &={\frac {1}{r}}\left\{p+p'\operatorname {Cos} .(p,p')+p''\operatorname {Cos} .(p'',p)\right\},\\\operatorname {Cos} .\theta '&={\frac {1}{r}}\left\{p'+p''\operatorname {Cos} .(p',p'')+p\operatorname {Cos} .(p,p')\right\},\\\operatorname {Cos} .\theta ''&={\frac {1}{r}}\left\{p''+p\operatorname {Cos} .(p'',p)+p'\operatorname {Cos} .(p',p'')\right\}.\end{aligned}}$

En substituant donc, ces formules deviendront

$r^{2}=\lambda ^{2}\left\{f^{2}+f'^{2}+f''^{2}-2f'f''\operatorname {Cos} .(f',f'')-2f''f\operatorname {Cos} .(f'',f)-2ff'\operatorname {Cos} .(f,f')\right\}$

${\begin{aligned}\operatorname {Cos} .\theta &={\frac {\lambda }{r}}\left\{f+f'\operatorname {Cos} .(f,f')-f''\operatorname {Cos} .(f'',f)\right\},\\\operatorname {Cos} .\theta '&={\frac {\lambda }{r}}\left\{f'+f''\operatorname {Cos} .(f',f'')-f\operatorname {Cos} .(f,f')\right\},\\\operatorname {Cos} .\theta ''&={\frac {\lambda }{r}}\left\{f''+f\operatorname {Cos} .(f'',f)-f'\operatorname {Cos} .(f',f'')\right\}.\end{aligned}}$

1. Voyez la page 55 du précédent volume.