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$z=A_{1}a+A_{2}a^{2}+A_{3}a^{3}+A_{4}a^{4}+\ldots \,;$

en substituant cette valeur dans l’équation (4), la comparaison des termes semblables dans les deux membres donnera

${\begin{aligned}a_{1}&=1,\\2a_{1}&=2a_{2}{\frac {\operatorname {d} A_{1}}{\operatorname {d} a_{1}}}+3a_{3}{\frac {\operatorname {d} A_{1}}{\operatorname {d} a_{2}}}+4a_{4}{\frac {\operatorname {d} A_{1}}{\operatorname {d} a_{3}}}+\ldots ,\\3a_{1}&=2a_{2}{\frac {\operatorname {d} A_{2}}{\operatorname {d} a_{1}}}+3a_{3}{\frac {\operatorname {d} A_{2}}{\operatorname {d} a_{2}}}+4a_{4}{\frac {\operatorname {d} A_{2}}{\operatorname {d} a_{3}}}+\ldots ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\na_{1}&=2a_{2}{\frac {\operatorname {d} A_{n-1}}{\operatorname {d} a_{1}}}+3a_{3}{\frac {\operatorname {d} A_{n-1}}{\operatorname {d} a_{2}}}+4a_{4}{\frac {\operatorname {d} A^{n-1}}{\operatorname {d} a_{3}}}+\ldots \,;\end{aligned}}$

formules qui indiquent suivant quelle loi le coefficient d’une puissance quelconque de $a$ dérive de celui de la puissance immédiatement inférieure.

L’équation (3) donne

$z^{n}=-n{\frac {\operatorname {d} \int z\operatorname {d} a}{\operatorname {d} a_{n-1}}}\,;$

ou ; en mettant pour $z$ sa valeur,

$z^{n}=-n{\frac {\operatorname {d} \left({\frac {A_{1}}{2}}a^{2}+{\frac {A_{2}}{3}}a^{3}+{\frac {A_{3}}{4}}a^{4}+\ldots \right)}{\operatorname {d} a_{n-1}}}\,;$

d’ailleurs $z''$ est de la forme

$Ba^{n}+B_{1}a^{n+1}+B_{2}a^{n+2}+\ldots \,;$

partant