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DES FONCTIONS POLYNOMES.

$B=C,\quad {\frac {\operatorname {d} B_{1}}{\operatorname {d} a_{1}}}=C_{1},\quad {\frac {\operatorname {d} ^{2}B_{2}}{\operatorname {d} a_{1}^{2}}}=C_{2},\ldots {\frac {\operatorname {d} ^{k}B_{k}}{\operatorname {d} a_{1}^{k}}}=C_{k},$

on aura

$kC_{k}=a_{2}{\frac {\operatorname {d} ^{2}C_{k-1}}{\operatorname {d} a_{1}.\operatorname {d} a_{1}}}+2a_{3}{\frac {\operatorname {d} ^{2}C_{k-1}}{\operatorname {d} a_{1}.\operatorname {d} a_{2}}}+3a_{4}{\frac {\operatorname {d} ^{2}C_{k-1}}{\operatorname {d} a_{1}.\operatorname {d} a_{3}}}+\ldots \,;\qquad$(10)

et

$kC_{k}=a_{2}{\frac {\operatorname {d} ^{2}C_{k-1}}{\operatorname {d} a_{1}^{2}}}+2a_{3}{\frac {\operatorname {d} ^{3}C_{k-2}}{\operatorname {d} a_{1}^{3}}}+3a_{4}{\frac {\operatorname {d} ^{4}C_{k-3}}{\operatorname {d} a_{1}^{4}}}+\ldots \,;\qquad$(11)

et par conséquent

$A_{n}={\frac {1}{n!}}\left(C{\frac {\operatorname {d} ^{n}A}{\operatorname {d} a^{n}}}+C_{1}{\frac {\operatorname {d} ^{n-1}A}{\operatorname {d} a^{n-1}}}+C_{2}{\frac {\operatorname {d} ^{n-2}A}{\operatorname {d} a^{n-2}}}+\ldots +C_{n-1}{\frac {\operatorname {d} A}{\operatorname {d} a}}\right)\$(12)

La réunion de la formule (12) avec une des formules (10) et (11) remplit l’objet proposé.

Voici enfin une méthode très-simple, pour construire tout d’un coup l’entier développement de $u.$ Soit fait

${\frac {1}{1-htx}}=1+htx+h^{2}t^{2}x^{2}+h^{3}t^{3}x^{3}+\ldots =H\,;$

on aura alors

$u=AH+{\frac {1}{1!1!}}.{\frac {\operatorname {d} A}{\operatorname {d} a}}.{\frac {\operatorname {d} H}{\operatorname {d} h}}+{\frac {1}{2!2!}}.{\frac {\operatorname {d} ^{2}A}{\operatorname {d} a^{2}}}.{\frac {\operatorname {d} ^{2}H}{\operatorname {d} h^{2}}}+{\frac {1}{3!3!}}.{\frac {\operatorname {d} ^{3}A}{\operatorname {d} a^{3}}}{\frac {\operatorname {d} ^{3}H}{\operatorname {d} h^{3}}}+\ldots$(13)

pourvu que, dans le second membre, on fasse $h=0,$ après les differentiations. D’où l’on voit qu’étant donné le développement de $H,$ on aura très-facilement celui de $u.$ Supposons donc

$H=1+E_{1}x+E_{2}x^{2}+E_{3}x^{3}+\ldots \,;$

on trouvera facilement l’équation