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DÉVELOPPEMENT EN SÉRIES

nA_{n}=a_{1}{\frac {\operatorname {d} A_{n-1}}{\operatorname {d} a}}+2a_{2}{\frac {\operatorname {d} A_{n-2}}{\operatorname {d} a}}+3a_{3}{\frac {\operatorname {d} A_{n-3}}{\operatorname {d} a}}+\ldots \,;\qquad

(7)

ou encore

nA_{n}=a_{1}{\frac {\operatorname {d} A_{n+\alpha }}{\operatorname {d} a_{\alpha +1}}}+2a_{2}{\frac {\operatorname {d} A_{n+\alpha }}{\operatorname {d} a_{\alpha +2}}}+3a_{3}{\frac {\operatorname {d} A_{n+\alpha }}{\operatorname {d} a_{\alpha +3}}}+\ldots \qquad

(8)

L’équation (6) exprime suivant quelle loi chacune des quantités $A_{1},A_{2},A_{3},\ldots$ dérive de celle qui la précède immédiatement.

La formule (7), ne renfermant de différentiations que par rapport à $a,$ permet d’employer les valeurs particulières ou numériques de $a_{1},a_{2},a_{3},\ldots$ et de faire ainsi les réductions à mesure qu’elles se présenteront ; ce qui, dans bien de cas, la rendra préférable.

Enfin, la formule (8) donne le moyen de revenir de l’une quelconque des quantités $A_{2},A_{3},A_{4},\ldots$ à celle qui la précède. Elle devient illusoire lorsque $n=0$ ; ce qu’il n’était pas difficile de prévoir.

Au moyen de la relation que l’équation (8) établit entre les divers coefficiens de $x,$ dans le développement de $u,$ on peut donner une infinité de formes différentes à la formule (6). Nous avons rapporté seulement les plus remarquables ; mais son emploi peut devenir plus intéressant. En effet ; les équations (4) et (8) peuvent se concentrer en celle-ci

{\frac {\operatorname {d} A_{m}}{\operatorname {d} a_{n}}}={\frac {\operatorname {d} A_{m-\alpha }}{\operatorname {d} a_{n-\alpha }}},

de laquelle on tirera facilement

{\frac {\operatorname {d} ^{2}A_{m}}{\operatorname {d} a_{n}^{2}}}={\frac {\operatorname {d} ^{2}A_{m-\alpha }}{\operatorname {d} a_{n-\alpha }.\operatorname {d} a_{n}}}={\frac {\operatorname {d} ^{2}A_{m-2\alpha }}{\left(\operatorname {d} a_{n-\alpha }\right)^{2}}}\,;

et, en général,