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RÉSOLUES.

$=\lambda abc{\sqrt {\operatorname {Cos} .A\operatorname {Cos} .B\operatorname {Cos} .C}}\,;$

d’où

$\lambda ={\frac {\alpha }{\sqrt {bc\operatorname {Cos} .A}}}+{\frac {\beta }{\sqrt {ca\operatorname {Cos} .B}}}+{\frac {\gamma }{\sqrt {ab\operatorname {Cos} .C}}}\,;$

Tel est donc le rapport des côtés du triangle cherché à ceux du triangle donné.

En substituant enfin cette valeur de $\lambda$ dans les cquations (3), on aura

${\begin{aligned}&x=\alpha +\beta {\sqrt {\frac {b\operatorname {Cos} .A}{a\operatorname {Cos} .C}}}+\gamma {\sqrt {\frac {c\operatorname {Cos} .A}{a\operatorname {Cos} .C}}},\\\\&y=\beta +\gamma {\sqrt {\frac {c\operatorname {Cos} .B}{b\operatorname {Cos} .C}}}+\alpha {\sqrt {\frac {a\operatorname {Cos} .B}{b\operatorname {Cos} .A}}},\\\\&z=\gamma +\alpha {\sqrt {\frac {a\operatorname {Cos} .C}{c\operatorname {Cos} .A}}}+\beta {\sqrt {\frac {b\operatorname {Cos} .C}{c\operatorname {Cos} .B}}}.\\\end{aligned}}$

Telles sont donc les valeurs des inconnues du problème.

Mais si des sommets $\mathrm {A,B,C}$ du triangle donné, on abaisse respectivement des perpendiculaires $\mathrm {AA',BB',CC'}$ sur les directions des côtés opposés $\mathrm {BC,CA,AB,}$ on aura

${\begin{alignedat}{2}{\rm {BA'=}}&c\operatorname {Cos} .B,\qquad &{\rm {AB'=}}&c\operatorname {Cos} .A,\\{\rm {CB'=}}&a\operatorname {Cos} .C,&{\rm {BC'=}}&a\operatorname {Cos} .B,\\{\rm {AC'=}}&b\operatorname {Cos} .A,&{\rm {CA'=}}&b\operatorname {Cos} .C,\end{alignedat}}$

donc, en substituant, on aura