Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1819-1820, Tome 10.djvu/364

354

NATURE DES RACINES

$\left\{{\begin{aligned}&x=+0{,}67,\\&y=-5{,}00\,;\end{aligned}}\right.\qquad \left\{{\begin{aligned}&x=+1{,}59,\\&y=-7{,}00\,;\end{aligned}}\right.\qquad \left\{{\begin{aligned}&x=-\ \ 1{,}51,\\&y=-43{,}00\,;\end{aligned}}\right.$

on a de plus pour $x=0,\ y=-7\,;$ d’où l’on voit que la courbe a, en allant du négatif au positif dans le sens des $x,$ un premier sommet dans l’angle des $x$ et $y$ négatifs, que les deux suivans sont dans l’angle des $x$ positifs et des $y$ négatifs, qu’elle passe du premier au second en coupant l’axe des $y$ au-dessous de l’origine, et conséquemment sans couper l’axe des $x$ en joignant donc à ces indications celles que fournit la remarque (I), on verra clairement que la proposée n’a que deux racines réelles seulement ; et que ces deux racines sont de signes contraires.

Exemple IV. Soit encore la proposée du cinquième degré

$x^{5}-6x^{3}+7x^{2}-7x+7=0,\qquad (\mathrm {X} =0)$

dont la dérivée est

$5x^{4}-18x^{2}+14x-7=0,\qquad \quad (\mathrm {X} '=0)$

en éliminant $x$ entre cette dérivée et l’équation

$x^{5}-6x^{3}+7x^{2}-7x+7=y,\qquad (\mathrm {X} =y)$

en aura d’abord l’équation du premier degré en $x$

${\begin{aligned}&\left\{(300y-1176)^{2}+2067\ .\ 5432\right\}x\\+&\{(300y-1176)(525y-2667)+2067(1780y-10696)\}=0\,;\end{aligned}}$

et ensuite pour l’équation aux sommets

$\left.{\begin{aligned}&1125y^{4}-59283y^{3}+76629\ .\ 12y^{2},\\&-8320106\ .\ 097y-9009800\ .\ 64=0.\end{aligned}}\right.\qquad (\mathrm {Y} =0)$