À l’aide de toutes ces remarques, on pourra toujours assigner exactement le nombre et les signes des racines réelles de toute équation proposée ; ainsi qu’on va s’en convaincre par les exemples suivans ; dans lesquels nous supposerons constamment la proposée délivrée de son second terme et de ses racines égales ; ce qui est permis.
Exemple I. Soit la proposée du second degré
dont la dérivée est
en éliminant entre cette dérivée et l’équation
on parviendra à l’équation aux sommets
La courbe parabolique n’a donc ici qu’un seul sommet, situé sur l’axe des à une distance de l’origine ; puis donc que (I) ses deux branches doivent s’étendre à l’infini, du côté des positives, dans les deux régions des positifs et des négatifs ; il est clair que cette courbe coupera l’axe des de part et d’autre de l’origine. Nous parvenons donc ainsi, sans résoudre l’équation à découvrir que cette équation a deux racines réelles de signes contraires ; et il en serait exactement de même pour toute autre équation du même degré.
Exemple II. Soit la proposée du troisième degré
dont la dérivée est
