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INTÉGRATION APPLIQUÉE

$y=e^{-x}\int e^{x}Q\operatorname {d} x,$

il s’ensuit que l’intégration à effectuer n’est autre que celle de la formule générale $\int X\operatorname {d} x,$ dans laquelle $X$ a pris la forme particulière $e^{x}Q\,;$ et qu’ainsi tout se réduit, pour avoir $y,$ à diviser par $e^{x}$ cette même intégrale que nous avons déjà enseignée à déterminer dans nos précédens mémoires. Mais d’abord le produit $e^{x}Q$ diffère considérablement de la simple fonction $Q,$ et doit, par suite, introduire une différence notable dans l’intégrale. En outre, l’intégration de $e^{x}Q\operatorname {d} x$ est un passage nécessaire pour parvenir à l’intégration de l’équation

$y+P{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=Q,$

ainsi qu’à celles d’autres équations d’une forme plus compliquée.

4. Commençons par supposer le nombre arbitraire égal à cinq unités : ce qui donne

$y=A+Bx+Cx^{2}+Dx^{3}+Ex^{4}+Fx^{5},$

d’où

${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=B+2Cx+3Dx^{2}+4Ex^{3}+5Fx^{4}\,;$

et par conséquent

$Q=y+{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=(A+B)+(B+2C)x+(C+3D)x^{2}$

$+(D+4E)x^{3}+(E+5F)x^{4}+Fx^{5}.$

En supposant successivement ici à la variable $x$ les valeurs entières et positives $0,1,2,3,4,5\,;$ et en désignant par $q_{0},q_{1},q_{2},q_{3},q_{4},q_{5},$ celles qui en résultent pour $Q,$ nous aurons