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DES ÉQUATIONS

${\begin{aligned}\operatorname {Arc} (\operatorname {Tang} =x)=&{\frac {x}{1+x^{2}}}.{\frac {\left(x+{\sqrt {-1}}\right)-\left(x-{\sqrt {-1}}\right)}{2{\sqrt {-1}}}}\\+&{\frac {1}{2}}\left({\frac {x}{1+x^{2}}}\right)^{2}.{\frac {\left(x+{\sqrt {-1}}\right)^{2}-\left(x-{\sqrt {-1}}\right)^{2}}{2{\sqrt {-1}}}}\\+&{\frac {1}{3}}\left({\frac {x}{1+x^{2}}}\right)^{3}.{\frac {\left(x+{\sqrt {-1}}\right)^{3}-\left(x-{\sqrt {-1}}\right)^{3}}{2{\sqrt {-1}}}}.\end{aligned}}$

En admettant deux termes de plus dans la valeur hypothétique de $y,$ on trouverait

${\begin{aligned}\operatorname {Arc} (\operatorname {Tang} =x)=&{\frac {x}{1+x^{2}}}.{\frac {\left(x+{\sqrt {-1}}\right)-\left(x-{\sqrt {-1}}\right)}{2{\sqrt {-1}}}}\\+&{\frac {1}{2}}\left({\frac {x}{1+x^{2}}}\right)^{2}.{\frac {\left(x+{\sqrt {-1}}\right)^{2}-\left(x-{\sqrt {-1}}\right)^{2}}{2{\sqrt {-1}}}}\\+&{\frac {1}{3}}\left({\frac {x}{1+x^{2}}}\right)^{3}.{\frac {\left(x+{\sqrt {-1}}\right)^{3}-\left(x-{\sqrt {-1}}\right)^{3}}{2{\sqrt {-1}}}}.\\+&{\frac {1}{4}}\left({\frac {x}{1+x^{2}}}\right)^{4}.{\frac {\left(x+{\sqrt {-1}}\right)^{4}-\left(x-{\sqrt {-1}}\right)^{4}}{2{\sqrt {-1}}}}.\\+&{\frac {1}{5}}\left({\frac {x}{1+x^{2}}}\right)^{5}.{\frac {\left(x+{\sqrt {-1}}\right)^{5}-\left(x-{\sqrt {-1}}\right)^{5}}{2{\sqrt {-1}}}}\,;\end{aligned}}$

série, dont la loi est évidente, et qu’on peut prolonger aussi loin qu’on le voudra.

Il ne serait peut-être pas aisé de ramener ce développement aux formules connues ; mais on ne saurait néanmoins en contester l’exactitude. Pour ne laisser aucun doute à cet égard, appliquons-le à la recherche du nombre ${\frac {\varpi }{4}};$ dont la valeur, approchée à moins d’une demi-unité décimale du 12.^e ordre, est