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DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES.

partie $Ce^{-x},$ appartient généralement à toutes les équations différentielles de cette classe ; de sorte qu’après avoir trouvé l’intégrale particulière$Xe^{-x},$ il ne s’agira, pour la rendre complète, que de lui ajouter le terme $Ae^{-x},$. La méthode que nous allons enseigner suppose qu’avant tout on soit instruit des limites entre lesquelles l’intégrale doit être prise. En supposant qu’il faille la prendre entre $x=a$ et $x=b,$ il faudra partager l’intervalle entier $b-a$ en un certain nombre de parties égales. Le nombre en est arbitraire ; mais, plus il sera grand, et plus on approchera de l’intégrale demandée. Il faut cependant bien se garder de croire qu’en prenant les nombres arbitraires en progression arithmétique, et en supposant, par exemple, $x$ successivement égal $0,1,2,3,4,5,6,\ldots$ la suite des erreurs qui en résultent soit constamment décroissante : la courbe qui aurait ces erreurs pour ordonnées irait en serpentant des deux côtés de l’axe, mais en se rapprochant toujours de cet axe, avec lequel elle coïnciderait à l’infini ; ce qui est conforme à la nature de la chose, et ce que j’ai bien directement prouvé d’ailleurs, par la table des erreurs de ${\frac {\varpi }{4}}$ (Annales, tom. VI, pag. 379, 887). Il faut savoir de plus qu’en excluant complètement les asymptotes, les points d’inflexion et les points de rebroussement, les résultats commencent à devenir incertains, lorsque les limites sont trop voisines des points où ces circonstances se rencontrent ; c’est ainsi, par exemple, qu’en appliquant les formules à la logistique ; et en employant les coordonnées ordinaires, on trouve des erreurs assez considérables, mais qui disparaissent pourtant en prenant d’autres coordonnées, plus éloignées de la direction de l’asymptote. Les courbes qui s’intègrent le mieux par cette méthode, sont les courbes rentrantes sur elles-mêmes ; ce sont les plus employées dans la pratique, et ce sont en même temps celles auxquelles la nouvelle méthode est le plus applicable. Il est possible, au reste, que le mémoire actuel paraisse inutile à bien des personnes ; attendu que, puisque nous avons ici