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DES ENGRENAGES.

$\left\{\left[r^{2}-a^{2}-c^{2}\operatorname {Sin} .^{2}\alpha -(z-c\operatorname {Cos} .\alpha )^{2}\right]^{2}\right.$

$\left.-\left[r^{2}+a^{2}+c^{2}\operatorname {Sin} .^{2}\alpha -(z-c\operatorname {Cos} .\alpha )^{2}\right]\left(x^{2}+y^{2}\right)\right\}^{2}$

$=4\left(a^{2}+c^{2}\operatorname {Sin} .^{2}\alpha \right)\left[r^{2}-(z-c\operatorname {Cos} .\alpha )^{2}\right](x^{2}-y^{2})^{2}$

équation que l’on reconnaîtra aisément pour être celle d’un canal circulo-cylindrique incliné au plan des $xy.$

Si l’on suppose le centre de la sphère au point ${\rm {O',}}$ on aura $c=0,$ et l’équation deviendra

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}+a^{2}\pm 2a{\sqrt {r^{2}-z^{2}}}\,;$

équation d’un canal circulo-cylindrique de révolution autour de l’axe des $z$ quel que soit d’ailleurs l’angle $\alpha .$

Soit, en général, la surface $S'$ une surface de révolution autour de l’axe des $z'\,;$ son équation sera de la forme

$x'^{2}+y'^{2}=\phi (z')\,;$

ce qui donnera, en substituant,

${\begin{aligned}&\left(1-\operatorname {Sin} .^{2}\alpha \operatorname {Sin} .^{2}t\right)x^{2}+2yz\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Cos} .\alpha \operatorname {Cos} .t-2ax\operatorname {Cos} .t+a^{2}\\+&\left(1-\operatorname {Sin} .^{2}\alpha \operatorname {Cos} .^{2}t\right)y^{2}-2xz\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Cos} .\alpha \operatorname {Sin} .t-2ay\operatorname {Sin} .t\\&\qquad \qquad +\operatorname {Sin} .^{2}\alpha z^{2}-2xy\operatorname {Sin} .^{2}\alpha \operatorname {Sin} .t\operatorname {Cos} .t\\&\qquad \qquad =\phi (-x\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Sin} .t+y\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Cos} .t+z\operatorname {Cos} .\alpha ).\end{aligned}}$

équation indépendante de $T,$ comme on pouvait bien s’y attendre.

Si la surface $S'$ est un cylindre, nous aurons simplement $\phi (z')=r^{2},$ et l’équation sera