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DES ENGRENAGES.

$\operatorname {F} (x,y,z,t)=0,$

sera celle de cette même surface $S',$ dans toutes les positions qu’elle peut prendre, par rapport à la surface cherchée $S\,;$ ou, ce qui revient au même, cette équation sera l’équation commune à une infinité de surfaces, dont chacune sera une des positions de la surface, par rapport à la surface, et qu’on en déduirait en faisant varier la valeur du paramètre $t.$ Puis donc que, dans toutes ces positions, la surface $S'$ doit être continuellement tangente à la surface $S,$ cette dernière ne sera autre chos»e que l’enveloppe de l’espace parcouru par la première. En conséquence, et d’après la théorie connue des surfaces enveloppes^[1], si l’on élimine $t$ entre cette dernière équation et sa différentielle prise par rapport à ce paramètre, l’équation résultante, de la forme

$\operatorname {f} (x,y,z)=S=0.$

sera l’équation demandée de la surface inconnue $S.$

Avant de passer aux applications, considérons, en particulier, le cas où les deux axes ${\rm {P,P'}}$ sont parallèles ; on a alors $\operatorname {Sin} .\alpha =0,\$$\operatorname {Cos} .\alpha =1,$ et nos formules deviennent

${\begin{aligned}&x'=+x\operatorname {Cos} .(T+t)+y\operatorname {Sin} .(T+t)-a\operatorname {Cos} .T,\\&y'=-x\operatorname {Sin} .(T+t)+y\operatorname {Cos} .(T+t)+a\operatorname {Sin} .T,\\&z'=+z\,;\end{aligned}}$

formules qui coïncident parfaitement avec celle du premier problème, ainsi qu’il doit en effet arriver dans ce cas.

Pour premier exemple, supposons que la surface $S'$ soit une sphère dont le centre soit sur l’axe ${\rm {P',}}$ son équation sera de la forme

1. Voyez l’endroit de ce recueil déjà cité.