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INTÉGRATION

$(1+a^{2})B-z=0,$

$2azB+\left\{(1+a^{2})+z^{2}\right\}C+3azD=0,$

$z^{2}B+4aCz+3\left\{(1+a^{2})+z^{2}\right\}D=0\,;$

d’où on tire

${\begin{aligned}&{\frac {B}{z}}={\frac {3z^{2}}{1+a^{2}}},\\&{\frac {C}{z^{2}}}={\frac {a}{\left(1+a^{2}\right)^{2}+2\left(1-a^{2}\right)z^{2}+z^{4}}},\\&{\frac {D}{z^{3}}}={\frac {\left(1-3a^{2}\right)+z^{2}}{3\left(1+a^{2}\right)\left\{\left(1+a^{2}\right)^{2}+2\left(1-a^{2}\right)z^{2}+z^{4}\right\}}}\,;\end{aligned}}$

La condition relative à la constante donne d’ailleurs

$A=a{\frac {B}{z}}+a^{2}{\frac {C}{z^{2}}}+a^{3}{\frac {D}{z^{3}}}\,;$

substituant donc, et faisant, après la substitution, $z=0,$ nous aurons

$A={\frac {a}{1+a^{2}}}-{\frac {a^{2}}{2\left(1+a^{2}\right)^{2}}}.2a+{\frac {a^{3}}{3\left(1+a^{2}\right)^{3}}}\left(3a^{2}-1\right)\,;$

c’est-à-dire,

${\begin{aligned}A=&{\frac {a}{1+a^{2}}}.{\frac {\left(a+{\sqrt {-1}}\right)-\left(a-{\sqrt {-1}}\right)}{2{\sqrt {-1}}}}\\+&{\frac {a^{2}}{2\left(1+a^{2}\right)^{2}}}.{\frac {\left(a+{\sqrt {-1}}\right)^{2}-\left(a-{\sqrt {-1}}\right)^{2}}{2{\sqrt {-1}}}}\\+&{\frac {a^{3}}{3\left(1+a^{2}\right)^{3}}}.{\frac {\left(a+{\sqrt {-1}}\right)^{3}-\left(a-{\sqrt {-1}}\right)^{3}}{2{\sqrt {-1}}}}\,;\end{aligned}}$

ou bien, en changeant $a$ en $x,$