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PROBLÈME

${\begin{alignedat}{2}x'&=+(x-a\operatorname {Cos} .t)\operatorname {Cos} .(T+t)&&+(y-a\operatorname {Sin} .t)\operatorname {Sin} .(T+t),\\y'&=-(x-a\operatorname {Cos} .t)\operatorname {Sin} .(T+t)&&+(y-a\operatorname {Sin} .t)\operatorname {Cos} .(T+t)\,;\end{alignedat}}$

ou, en développant et réduisant,

${\begin{alignedat}{2}x'&=+a\operatorname {Cos} .(T+t)&&+y\operatorname {Sin} .(T+t)-a\operatorname {Cos} .T,\\y'&=-a\operatorname {Sin} .(T+t)&&+y\operatorname {Cos} .(T+t)+a\operatorname {Sin} .T.\end{alignedat}}$

Cela posé, soit

$\operatorname {f} '(x',y')=S'=0,$

l’équation de la courbe $S',$ rapportée à ses propres axes, et que l’on suppose donnée, dans l’énoncé du problème, en y substituant pour $x',y'$ les valeurs que nous venons de trouver en $x,y,$ l’équation résultante, de la forme

$\operatorname {f} (x,y,t)=0,$

sera celle de cette même courbe $S',$ dans toutes les positions qu’elle peut prendre par rapport à la courbe $S\,;$ ou, ce qui revient même, cette équation sera l’équation commune à une infinité de courbes, dont chacune sera une des positions de la courbe $S'$ par rapport à la courbe $S,$ et qu’on en déduirait en faisant varier la valeur du paramètre $t.$ Puis donc que, dans toutes ces positions, la courbe $S'$ doit continuellement être tangente à la courbe, cette dernière ne sera autre chose que l’enveloppe de l’espace parcouru par la première. En conséquence, et d’après la théorie connue des enveloppes^[1], si l’on élimine $t$ entre cette dernière équation et

1. Voyez, entre autres, la page 361 du III.^e volume du présent recueil.