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INSCRIPT.ⁿ DE 3 CERC.^s À UN TRIANG.^e QUELCONQ.

ce qui revient exactement à la construction de Malfalti. (Voyez l’article cité, tom. I, pag. 347).

Si l’on voulait prendre pour inconnues les distances $\mathrm {AX,BY,CZ}$ des sommets aux centres correspondans, ces inconnues seraient respectivement $x{\sqrt {1+a^{2}}},\ y{\sqrt {1+b^{2}}},\ z{\sqrt {1+c^{2}}}\,;$ et l’on trouverait, par exemple, d’après ce qui précède,

$z{\sqrt {1+c^{2}}}=cz.{\frac {\sqrt {1+c^{2}}}{c}}$

$={\frac {\sqrt {1+c^{2}}}{2c}}\left(a+b+c-1+{\sqrt {1+c^{2}}}-{\sqrt {1+a^{2}}}-{\sqrt {1+b^{2}}}.\right)$

Si enfin on voulait prendre pour inconnues les distances $\mathrm {OX,OY,OZ,}$ ces inconnues seraient respectivement $(1-x){\sqrt {1+a^{2}}},\ (1-y){\sqrt {1+b^{2}}},\$$(1-z){\sqrt {1+c^{2}}}\,;$ et l’on trouverait, par exemple,

$(1-z){\sqrt {1+c^{2}}}=(c-cz){\frac {\sqrt {1+c^{2}}}{c}}$

$={\frac {\sqrt {1+c^{2}}}{2c}}\left(1-a-b+c+{\sqrt {1+a^{2}}}+{\sqrt {1+b^{2}}}-{\sqrt {1+c^{2}}}.\right)$

En variant les signes des radicaux d’une manière convenable, et en substituant au cercle inscrit, proprement dit, chacun des trois autres cercles qui peuvent toucher à la fois les trois côtés du triangle, on obtiendra toutes les solutions dont le problème peut être susceptible^[1].

Berlin, le 23 janvier 1820.

1. La simplicité de cette solution engagera peut-être quelqu’un à tenter celle au problème analogue pour le tétraèdre, qui a été proposé à la page 287 du II.^e volume de ce recueil.
   J. D. G.