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INSCRIPTION DE TROIS CERCLES

$a={\tfrac {1}{2}}.2a=-{\tfrac {1}{2}}\left\{(1-a)^{2}-(1+a^{2})\right\}$

$=-{\tfrac {1}{2}}\left(1-a+{\sqrt {1+a^{2}}}\right)\left(1-a-{\sqrt {1+a^{2}}}\right),$

$b={\tfrac {1}{2}}.2b=-{\tfrac {1}{2}}\left\{(1-b)^{2}-(1+b^{2})\right\}$

$=-{\tfrac {1}{2}}\left(1-b+{\sqrt {1+b^{2}}}\right)\left(1-b-{\sqrt {1+b^{2}}}\right),$

ils prendront cette nouvelle forme

$\left(1-a+{\sqrt {1+a^{2}}}\right)\left\{1-{\frac {1}{2}}\left(1-a-{\sqrt {1+a^{2}}}\right)\left(1-b-{\sqrt {1+b^{2}}}\right)\right\}\,;$

$\left(1-b+{\sqrt {1+b^{2}}}\right)\left\{1-{\frac {1}{2}}\left(1-a-{\sqrt {1+a^{2}}}\right)\left(1-b-{\sqrt {1+b^{2}}}\right)\right\}\,;$

c’est-à-dire, qu’ils ont un facteur commun ; en supprimant donc ce facteur, l’équation deviendra simplement

$\left(1-a+{\sqrt {1+a^{2}}}\right){\sqrt {x}}=\left(1-b+{\sqrt {1+b^{2}}}\right){\sqrt {y}}.$

En posant donc ; pour abréger,

${\begin{aligned}&\left(1-a+{\sqrt {1+a^{2}}}\right)=A,\\&\left(1-b+{\sqrt {1+b^{2}}}\right)=B,\\&\left(1-c+{\sqrt {1+c^{2}}}\right)=C,\end{aligned}}$

on tirera de là, par une simple permutation de lettres,

$B{\sqrt {y}}=C{\sqrt {z}},\qquad C{\sqrt {z}}=A{\sqrt {x}}.$

d’où

${\sqrt {x}}={\frac {C}{A}}{\sqrt {z}},\qquad {\sqrt {y}}={\frac {C}{B}}{\sqrt {z}}\qquad$(5)

Retournons présentement à nos équations primitives ; si de la somme des équations (2, 3) nous retranchons l’équation (1), en