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INSCRIPTION DE TROIS CERCLES

${\begin{alignedat}{4}ax&+&2{\sqrt {xy}}&+&by&=&a+b,&\qquad (1)\\by&+&2{\sqrt {yz}}&+&cz&=&b+c,&\qquad (2)\\cz&+&2{\sqrt {zx}}&+&ax&=&c+a,&\qquad (3)\end{alignedat}}$

avec la condition

$a+b+c=abc.\qquad$(4)

En multipliant en croix les équations (2, 3) et réduisant, on a

$(b+c)(ax+2{\sqrt {xz}})-(a+c)(bx+2{\sqrt {yz}})=c(a-b)z\,;$

mais l’équation (4) donne

$c=-{\frac {a+b}{ab-1}},$

d’où

$b+c={\frac {a\left(1+b^{2}\right)}{ab-1}},\qquad a+c={\frac {b\left(1+a^{2}\right)}{ab-1}}\,;$

substiluant donc, et supprimant le dénominateur commun, on aura

$a\left(1+b^{2}\right)(ax+2{\sqrt {xz}}-b\left(1+a^{2}\right)(bx+2{\sqrt {yz}})=\left(a^{2}-b^{2}\right)z,$

ou encore

$a\left(1+b^{2}\right)(ax+2{\sqrt {xz}}-b\left(1+a^{2}\right)(by+2{\sqrt {yz}})$

$=\left\{\left(1+a^{2}\right)-\left(1+b^{2}\right)\right\}z\,;$

ou, en transposant,

$\left(1+b^{2}\right)\left(a^{2}x+2a{\sqrt {xz}}+z\right)=\left(1+a^{2}\right)\left(b^{2}y+2b{\sqrt {yz}}+z\right),$

ou encore

$\left(1+b^{2}\right)\left(a{\sqrt {x}}+{\sqrt {z}}\right)^{2}=\left(1+a^{2}\right)\left(b{\sqrt {y}}+{\sqrt {z}}\right)^{2}\,;$

ou, en extrayant les racines et divisant,