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À UN TRIANGLE QUELCONQUE.

$\operatorname {Tang} .\alpha +\operatorname {Tang} .\beta +\operatorname {Tang} .\gamma =\operatorname {Tang} .\alpha \operatorname {Tang} .\beta \operatorname {Tang} .\gamma .$

Il s’agit donc d’inscrire à ce triangle trois cercles tels que chacun d’eux touche les deux autres et deux côtés du triangle ; et il est d’abord clair que les centres de ces cercles devront être situés sur les droites $\mathrm {OA,OB,OC}$ qui divisent ces angles en deux parties égales. Soient respectivement $\mathrm {X,Y,Z}$ ces centres, et $x,y,z,$ les rayons qui leur correspondent.

Si l’on projette orthogonalement les centres $X,Y$ sur le côté $AB=AC'+BC'=\operatorname {Tang} .\alpha +\operatorname {Tang} .\beta ,$ leurs projections diviseront ce côté en trois segmens dont les extrêmes seront évidemment $x\operatorname {Tang} .\alpha ,y\operatorname {Tang} .\beta .$ Quant au segment intermédiaire, il ne sera autre chose que la projection de la distance des centres $\mathrm {XY} =x+y,$ et sera conséquernment

${\sqrt {(x+y)^{2}-(x-y)^{2}}}={\sqrt {4xy}}=2{\sqrt {xy}}\,;$

égalant donc la somme de ces trois parties à la première expression du côté $\mathrm {AB,}$ on aura

$x\operatorname {Tang} .\alpha +2{\sqrt {xy}}+y\operatorname {Tang} .\beta =\operatorname {Tang} .\alpha +\operatorname {Tang} .\beta .$

La considération des deux autres côtés donnera des équations analogues, de sorte qu’en faisant, pour abréger,

${\begin{aligned}&\operatorname {Tang} .\alpha =a,\\&\operatorname {Tang} .\beta =b,\\&\operatorname {Tang} .\gamma =c\,;\end{aligned}}$

tout se trouvera réduit à résoudre, par rapport à $x,y,z,$ les trois équations