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DES ÉQUATIONS

Solution. Soit $x$ la tangente donnée et $y$ l’arc cherché auquel elle appartient ; nous aurons l’équation

$x=\operatorname {Tang} .y,\qquad$ou$\qquad x\operatorname {Cos} .y=\operatorname {Sin} .y,$

ou en différentiant,

$\operatorname {Cos} .y-x{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\operatorname {Sin} .y={\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\operatorname {Cos} .y.$

En éliminant $\operatorname {Cos} .y$ entre ces deux équations, $\operatorname {Sin} .y$ disparaîtra aussi, et nous aurons l’équation

$\left(1+x^{2}\right){\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}-1=0.$

Dans laquelle la constante doit se déterminer par cette considération que $x$ et $y$ doivent être nuls en même temps.

Changeant, dans cette équation, $x$ en $a+zx,$ elle deviendra

$\left\{(1+a^{2})+2azx+z^{2}x^{2}\right\}{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}-z=0,\qquad$(1)

où la constante se déterminera par la considération qu’à $a+zx=0$ ou $x=-{\frac {a}{z}}$ doit répondre $y=0\,;$ et l’arc cherché, dont la tangente est $a,$ sera ce que devient $y,$ lorsqu’on suppose $x=0.$

Posons d’abord simplement,

$y=A+Bx,\qquad$(5)

d’où

${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=B\,;\qquad$(6)

mettant cette valeur dans (1), elle deviendra