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INDÉTERMINÉE.

${\frac {379}{600}}={\frac {2}{3}}+{\frac {1}{8}}-{\frac {4}{25}},$

et nous venons de voir tout-à-l’heure comment se décomposaient les fractions de la dernière sorte.

Si, en général, on a la fraction numérique ${\frac {k}{a^{\alpha }b^{\beta }c^{\gamma }\ldots }},$ dans laquelle les nombres $a,b,c,\ldots$ soient premiers entre eux, on pourra la décomposer en

${\frac {a'}{a^{\alpha }}}+{\frac {b'}{b^{\beta }}}+{\frac {c'}{c^{\gamma }}}+\ldots$

dans laquelle les numérateurs seront moindres que les dénominateurs.

Cette application de l’analise indéterminée ordinaire a déjà été indiquée par M. Legendre (Théorie des nombres, dernière édition, pag. 26). La décomposition des fractions littérales, fonctions d’une variable, est une application toute semblable de la nouvelle analise indéterminée dont il vient d’être question ci-dessus.

Soit, en premier lieu, la fraction

${\frac {4+t-5t^{2}+38t^{3}-19t^{4}+2t^{5}}{\left(1+5t-2t^{2}\right)^{3}}}$

qu’il faille décomposer en deux autres dont les dénominateurs soient $\left(1+5t-2t^{2}\right)^{3}$ et $\left(1+5t-2t^{2}\right)^{2}\,;$ en désignant les numérateurs par $x,y,$ on aura

${\frac {x}{\left(1+5t-2t^{2}\right)^{3}}}+{\frac {y}{\left(1+5t-2t^{2}\right)^{2}}}={\frac {4+t-5t^{2}+38t^{3}-19t^{4}+2t^{5}}{\left(1+5t-2t^{2}\right)^{3}}},$

ou

$x+\left(1+5t-2t^{2}\right)y=4+t-5t^{2}+38t^{3}-19t^{4}+2t^{5},$

en résolvant cette équation comme ci-dessus, on trouve

${\begin{aligned}&x=(3-2t)+\left(1+5t-2t^{2}\right)T,\\&y=\left(1-2t+t^{2}-7t^{3}\right)-T.\end{aligned}}$

Si l’on veut que $x$ soit d’un degré inférieur au second, et $y$ d’un