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INTÉGRATION

${\begin{aligned}M&=\ 1\ -{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+{\frac {x^{8}}{8!}}-\ldots ,\\N&={\frac {x}{1}}-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+{\frac {x^{9}}{9!}}-\ldots ,\end{aligned}}$

on doit avoir

$\operatorname {Sin} .x={\frac {N}{M^{2}+N^{2}}},\qquad \operatorname {Cos} .x={\frac {M}{M^{2}+N^{2}}}\,;$

d’où

$\operatorname {Tang} .x={\frac {N}{M}}\,;$

or, s’il en est ainsi, on devra avoir

$1=\operatorname {Sin} .^{2}x+\operatorname {Cos} .^{2}x=\left({\frac {N}{M^{2}+N^{2}}}\right)^{2}+\left({\frac {M}{M^{2}+N^{2}}}\right)^{2}={\frac {1}{M^{2}+N^{2}}}\,;$

d’où on conclura

$M^{2}+N^{2}=1\,;$

on aura donc simplement

$\operatorname {Sin} .x=N,\qquad \operatorname {Cos} .x=M\,;$

c’est-à-dire

${\begin{aligned}\operatorname {Sin} .x&={\frac {x}{1}}-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\ldots \\\operatorname {Cos} .x&=\ 1\ -{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}-\ldots \end{aligned}}$

ce qui, en effet, est rigoureusement vrai

PROBLÈME IV. Déterminer la longueur d’un arc de cercle dont la tangente est donnée ?