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FRACTIONS

sans être obligé de se servir des facteurs réels ou imaginaires de $1-\alpha x+\beta x^{2}$ ?

Je ferai $1-\alpha x+\beta x^{2}=\omega ,$ ou $x^{2}={\frac {-1+\alpha x+\omega }{\beta }}.$ Éliminant, au moyen de cette équation, toutes les puissances de $x$ supérieures à la première, j’aurai

${\frac {P}{Q}}={\frac {M+nx}{\omega ^{n}(F+Gx)}},$

dans laquelle $M,N,F,G$ ne contiendront point d’$x.$ On éliminera $x$ absolument du dénominateur, en multipliant les deux termes de la fraction par $\mu +\nu x,$ et prenant

${\frac {\mu }{\nu }}={\frac {\alpha G-\beta F}{\beta G}}\,;$

on aura ainsi

${\frac {P}{Q}}={\frac {M'+N'x}{\omega ^{n}R'}},$

Faisant ensuite

${\frac {M'}{N'}}=A+A'\omega +A''\omega ^{2}+\ldots$

${\frac {N'}{N'}}=B+B'\omega +B''\omega ^{2}+\ldots$

on aura les coefficiens cherchés $A,B,A',B',\ldots$

13. Exemple I. Il s’agit de décomposer la fraction

${\frac {1}{\left(1+x^{2}\right)^{2}\left(1-x+x^{2}\right)}}$ ?

1.^o Soit $1+x^{2}=\omega \,;$ la fraction devient

${\frac {1}{\omega ^{2}(\omega -x)}}.$