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FRACTIONS

Problème III.

9. En général, soit la fraction rationnelle ${\frac {P}{Q}},$ dans laquelle le plus grand exposant de $x$ dans le dénominateur soit plus grand que dans le numérateur. Soit $(1-px)^{m}$ un facteur de $Q\,;$ on demande les fractions partielles qui en résultent ?

En représentant ces fractions par

${\frac {A}{(1-px)^{m}}}+{\frac {B}{(1-px)^{m-1}}}+{\frac {C}{(1-px)^{m-2}}}+\ldots +{\frac {Z}{1-px}}$

je ferai, à l’ordinaire ; $1-px=\omega ,$ et la fraction ${\frac {P}{Q}}$ deviendra de cette forme

${\frac {\alpha +\beta \omega +\gamma \omega ^{2}+\delta \omega ^{3}+\ldots }{\omega ^{m}\left(a+b\omega +c\omega ^{2}+d\omega ^{3}+\ldots \right)}}\,;$

je développerai en série la fraction

${\frac {\alpha +\beta \omega +\gamma \omega ^{2}+\delta \omega ^{3}+\ldots }{a+b\omega +c\omega ^{2}+d\omega ^{3}+\ldots }},$

qui me donnera

$A+B\omega +C\omega ^{2}+D\omega ^{3}+\ldots +Z\omega ^{m-1},$

en sorte que je n’aurai besoin que des $m$ premiers termes de cette suite, et que je pourrai négliger, dans mon calcul, les $\omega ^{m},\omega ^{m-1},\ldots ,$ à mesure qu’ils se présenteront.

Je ferai un calcul semblable sur les autres facteurs du dénominateur $Q,$ et ma fraction sera décomposée avec le moins de travail possible.

10. Exemple I. Soit proposé de décomposer la fraction