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DES ÉQUATIONS

changeant donc $a$ en $x,$ nous aurons, pour seconde approximation,

$\operatorname {Sin} .x={\frac {{\frac {x}{1}}-{\frac {x^{3}}{3!}}}{\left(1-{\frac {x^{2}}{2}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{4!}}\right)+\left({\frac {x}{1}}-{\frac {x^{3}}{3!}}\right)^{2}}},$

$\operatorname {Cos} .x={\frac {1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{4!}}}{\left(1-{\frac {x^{2}}{2}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{4!}}\right)+\left({\frac {x}{1}}-{\frac {x^{3}}{3!}}\right)^{2}}},$

d’où

$\operatorname {Tang} .x={\frac {{\frac {x}{1}}-{\frac {x^{3}}{3!}}}{1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{4!}}}}.$

Si nous admettions deux termes de plus à la valeur hypothétique de $y,$ en opérant d’une manière semblable, nous trouverions, pour troisième approximation,

$\operatorname {Sin} .x={\frac {{\frac {x}{1}}-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}}{\left(1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{4!}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}\right)+\left({\frac {x}{1}}-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}\right)^{2}}},$

$\operatorname {Cos} .x={\frac {1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}}{\left(1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{4!}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}\right)+\left({\frac {x}{1}}-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}\right)^{2}}}\,;$

d’où

$\operatorname {Tang} .x={\frac {1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}}{1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}}}.$

La marche de ces résultats nous conduit à soupçonner avec fondement, qu’en posant, en général,