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FRACTIONS RATIONNELLES.

ANALISE ALGÉBRIQUE.

Du développement des fractions rationnelles composées
en fractions partielles ;

Par M. ***

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Cette matière a été traitée, avec beaucoup de soin et d’étendue, dans l’Introductio in analisin infinitorum d’Euler, et ensuite dans les Institutiones calculi différentialis du même auteur. Cependant, je ne crois pas que les méthodes consignées dans ces excellens ouvrages soient à la fois les plus faciles et les plus expéditives. Je vais en exposer une qui, à plusieurs égards, me paraît mériter la préférence.

Problème I.

2. Étant donné la fraction ${\frac {1}{\left(1-\alpha x+\beta x^{2}\right)^{m}}},$ dans laquelle $1-\alpha x+\beta x^{2}$ est le produit des deux facteurs inégaux $1-px,1-p'x,$ on propose de la décomposer en cette suite de fractions partielles

${\frac {A}{(1-px)^{m}}}+{\frac {B}{(1-px)^{m-1}}}+{\frac {C}{(1-px)^{m-2}}}+\ldots +{\frac {Z}{1-px}}$

$+{\frac {A'}{(1-p'x)^{m}}}+{\frac {B'}{(1-p'x)^{m-1}}}+{\frac {C'}{(1-p'x)^{m-2}}}+\ldots +{\frac {Z'}{1-p'x}}$ ?

Je fais