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INTÉGRATION

prenant enfin la demi-différence de ces deux-ci, on aura

$0=\left(Cz^{2}+12E\right)+Ez^{2}.$

d’où, en remontant,

${\begin{aligned}0=&(Bz^{2}+6D)+Dz^{2},\\0=&(Az^{2}+2C).\end{aligned}}$

On tirera de ces trois dernières équations

${\frac {C}{z}}=-{\frac {1}{2}}A,\quad {\frac {D}{z^{3}}}=-{\frac {1}{6+z^{2}}}.{\frac {B}{z}},\quad {\frac {E}{z^{4}}}=+{\frac {A}{2\left(12+z^{2}\right)}}\,;$

les conditions relatives aux constantes sont d’ailleurs ici

$0=A-a{\frac {B}{z}}+a^{2}{\frac {C}{z^{2}}}-a^{3}{\frac {D}{z^{3}}}+a^{4}{\frac {E}{z^{4}}},$

$1={\frac {B}{z}}-2a{\frac {C}{z^{2}}}+3a^{2}{\frac {D}{z^{3}}}-4a^{3}{\frac {E}{z^{4}}}\,;$

en y substituant donc les trois valeurs ci-dessus, elles deviendront en faisant de suite $z=0,$ excepté dans le dénominateur de $B.$

$\left(1-{\frac {a^{2}}{2}}+{\frac {a^{4}}{24}}\right)A-\left(a-{\frac {a^{3}}{6}}\right){\frac {B}{z}}=0.$

$\left(a-{\frac {a^{3}}{6}}\right)A+\left(1-{\frac {a^{2}}{2}}\right){\frac {B}{z}}=1.$

desquelles on tirera

$A={\frac {a-{\frac {a^{3}}{6}}}{1-{\frac {a^{4}}{24}}+{\frac {a^{6}}{144}}}},\qquad {\frac {B}{z}}={\frac {1-{\frac {a^{2}}{2}}+{\frac {a^{4}}{24}}}{1-{\frac {a^{4}}{24}}+{\frac {a^{6}}{144}}}},$