Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1819-1820, Tome 10.djvu/255

247

DES FONCTIONS.

$\left.{\begin{aligned}&{\frac {\operatorname {d} U}{\operatorname {d} a}}{\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} b}}={\frac {\operatorname {d} U}{\operatorname {d} b}}{\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} a}}\\\\&{\frac {\operatorname {d} U}{\operatorname {d} a'}}{\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} b'}}={\frac {\operatorname {d} U}{\operatorname {d} b'}}{\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} a'}}\end{aligned}}\right\}\quad$(5)

d’où on déduirait

$\left.{\begin{aligned}&{\frac {\operatorname {d} .V{\frac {\operatorname {d} U}{\operatorname {d} a}}}{\operatorname {d} b}}={\frac {\operatorname {d} .V{\frac {\operatorname {d} U}{\operatorname {d} b}}}{\operatorname {d} a}}\\\\&{\frac {\operatorname {d} .V{\frac {\operatorname {d} U}{\operatorname {d} a'}}}{\operatorname {d} b'}}={\frac {\operatorname {d} .V{\frac {\operatorname {d} U}{\operatorname {d} b'}}}{\operatorname {d} a'}}\end{aligned}}\right\}\quad$(6)

et aussi

${\begin{aligned}&{\frac {\operatorname {d} .U{\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} a}}}{\operatorname {d} b}}={\frac {\operatorname {d} .U{\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} b}}}{\operatorname {d} a}},\\\\&{\frac {\operatorname {d} .U{\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} a'}}}{\operatorname {d} b'}}={\frac {\operatorname {d} .U{\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} b'}}}{\operatorname {d} a'}}.\end{aligned}}$

Les équations (4, 6) peuvent être utilement employées au développement de certaines fonctions. Soit, par exemple, $U$ à développer suivant les puissances de $b,$ lorsque $x$ est donnée par l’équation

$x=\operatorname {f} (a+bz)\,;\qquad$(7)

$z$ désignant une fonction quelconque de $x$ sans $a$ ni $b.$ Nous déduirons d’abord de l’équation (7)

${\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} a}}=\left(1+b{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}{\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} a}}\right)\operatorname {f} '(a+bz)\,;$

$\operatorname {f} '$ désignant ici la fonction prime de $\operatorname {f} ,$ cela donnera