Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1819-1820, Tome 10.djvu/251

243

DU CUBE.

un second point ; l’ordonnée de ce dernier point sera l’arête du cube cherché, double en volume du cube donné.

Soit, en effet, l’équation de la parabole

$y'^{2}=4cx'\,;$

l’équation d’une normale sera

$y-y'=-{\frac {y'}{2c}}(x-x'),$

ou

$2c(y-y')+y'(x-x')=0.$

Si l’on veut que le point $(x,y)$ soit un point de la développée, il faudra qu’en différentiant cette dernière équation par rapport à $x',y',$ les coordonnées $x,y$ demeurent constantes, ce qui donnera

$\left[(x-x')-2c\right]{\frac {\operatorname {d} y'}{\operatorname {d} x'}}=y'\,;$

mais la différentielle de l’équation de la parabole est

$y'{\frac {\operatorname {d} y'}{\operatorname {d} x'}}=2c\,;$

éliminant donc ${\frac {\operatorname {d} y'}{\operatorname {d} x'}}$ entre ces deux équations, il viendra

$2c\left[(x-x')-2c\right]=y'^{2}\,;$

éliminant enfin $x-x'$ entre cette dernière équation et celle de la normale, on aura

$y'^{3}=-4c^{2}y\,;$

ce qui nous apprend que les ordonnées des divers points de la développée sont proportionnelles aux cubes des ordonnées des points correspondons de la parabole, et justifie ainsi la construction indiquée plus haut.

On voit en même temps qu’une construction tout-à-fait analogue résoudrait le problème, plus général, où il s’agirait de déterminer l’arête d’un cube dont le volume fùt à celui d’un autre cube dont l’arête est donnée dans un rapport donné ?