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SÉRIES

$(i,n+1)=\int (i,n)\operatorname {d} i-{\frac {1}{2}}\int (i,n-1)\operatorname {d} i+{\frac {1}{3}}\int (i,n-2)\operatorname {d} i-\ldots$

$\ldots +{\frac {(-1)^{n}}{n+1}}\int (i,0)\operatorname {d} i+{\frac {(-1)^{n+1}}{n+2}}i.$

Si, dans cette dernière formule, on prend les intégrales depuis $i=0$ jusqu’à $i=1,$ en mettant pour $\int (i,n)\operatorname {d} i,\ \int (i,n-1)\operatorname {d} i,\ldots$ prises entre ces limites, les nombres qui les représentent et que nous avons appelés $(-1)^{n}A_{n},(-1)^{n-1}A_{n-1},\ldots ,$ on trouvera

$0=A_{n}+{\frac {1}{2}}A_{n-1}+{\frac {1}{3}}A_{n-2}+\ldots +{\frac {1}{n+1}}A_{0}-{\frac {1}{n+2}}.$

On tire de là

$A_{n}={\frac {1}{n+2}}-\left({\frac {A_{n-1}}{2}}+{\frac {A_{n-2}}{3}}+{\frac {A_{n-3}}{4}}+{\frac {A_{n-4}}{5}}+\ldots {\frac {A_{0}}{n+1}}\right)\,;$

ou encore, en observant que $A_{0}={\frac {1}{2}},$

$A_{n}={\frac {n}{2(n+1)(n+2)}}-\left({\frac {A_{n-1}}{2}}+{\frac {A_{n-2}}{3}}+{\frac {A_{n-3}}{4}}+{\frac {A_{n-4}}{5}}+\ldots {\frac {A_{1}}{n}}\right).$

formule qui servira à déduire les uns des autres les nombres $A_{1},A_{2},A_{3},\ldots ,A_{n}$ que nous avons substitués, dans nos formules, aux nombres de Bernoulli. En observant que $A_{1}={\frac {1}{12}},$ on trouvera

${\begin{array}{lcl}A_{0}&={\frac {1}{2}}&=0{,}50000000,\\A_{1}&={\frac {1}{12}}&=0{,}08333333,\\A_{2}&={\frac {1}{24}}&=0{,}04166666,\\\end{array}}$