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SÉRIES

$\Sigma y=\int y\operatorname {d} x-A_{0}y+A_{1}\Delta y-A_{2}\Delta ^{2}y+\ldots \qquad$(8)

Cette dernière formule nous paraît de beaucoup préférable à la formule ordinaire ; attendu que les nombres de Bernoulli qu’on y introduit, deviennent bientôt excessivement divergens ; tandis qu’au contraire nos $A_{0},A_{1},A_{2},$$\ldots A_{k}$ convergent constamment, comme nous l’avons fait remarquer plus haut.

Pour donner une application de nos formules, soit

$y={\frac {1}{x}},\quad$d’où$\quad \int y\operatorname {d} x=\operatorname {l} .x$

$\Delta y=-{\frac {1}{x(x+1)}},\qquad \Delta ^{2}y=+{\frac {1.2}{x(x+1)(x+2)}},\ldots ,$

$\Delta ^{k}y=[-1]^{k}.{\frac {1.2.3\ldots k}{x(x+1)(x+2)\ldots (x+k)}}\,;$

alors la formule (6) donnera

$\Delta \operatorname {l} x={\frac {1}{x}}-{\frac {1.A_{0}}{x(x+1)}}-{\frac {1.2.A_{1}}{x(x+1)(x+2)}}-{\frac {1.2.3.A_{2}}{x(x+1)(x+2)(x+3)}}-\ldots$

d’où on conclura

$\Delta ^{2}\operatorname {l} x=-{\frac {1}{x(x+1)}}+{\frac {1.2.A_{0}}{x(x+1)(x+2)}}+{\frac {1.2.3.A_{1}}{x(x+1)(x+2)(x+3)}}-\ldots$

et, en général,

$\Delta ^{k}\operatorname {l} x=(-1)^{k+1}.{\frac {x!}{x}}\left\{{\frac {k!}{(x+k)!}}-{\frac {(k+1)!}{(x+k+1)!}}A_{0}\right.$

$\left.+{\frac {(k+2)!}{(x+k+2)!}}A_{1}-{\frac {(k+3)!}{(x+k+3)!}}A_{2}+\ldots \right\}$

Formule plus régulière, plus convergente et plus commode que toutes celles qui ont été proposées jusqu’ici, pour le calcul des différences logarithmiques.