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DIVERSES.

$\int (i,k+1)\operatorname {d} i=-{\frac {k+1}{k+2}}\int (i,k)\operatorname {d} i+{\frac {1}{k+2}}\int (i,k)i\operatorname {d} i\,;$

en posant donc, pour abréger,

${\frac {\int (i,k)i\operatorname {d} i}{\int (i,k)\operatorname {d} x}}=u,$

cette équation deviendra

$\int (i,k+1)\operatorname {d} i=-\int (i,k)\operatorname {d} i\times {\frac {k+1-u}{k+2}}.$

Si l’on prend les intégrales depuis $i=0$ jusqu’à $i=1,$ la fonction $u$ sera positive et moindre que l’unité ; d’où l’on voit qu’entre ces limites $\int (i,k+1)\operatorname {d} i$ est moindre que $\int (i,k)\operatorname {d} i$ et de signe contraire. Il est même facile de s’assurer que, si l’on représente par $(-1)^{k}A_{k},$ l’intégrale $\int (i,k)\operatorname {d} i$ prise entre ces limites, tous les nombres $A_{0},A_{1},A_{2},\ldots A_{k}$ seront positifs.

VI. Cela posé, si $y$ représente une fonction déterminée de $x,$ et qu’on désigne par $y_{i}$ la valeur que prend $y,$ lorsqu’on change $x$ en $x+i\,;$ l’on aura, comme l’on sait, en posant $\Delta x=1$

$y_{i}=y+(i,0)\Delta y+(i,1)\Delta ^{2}y+(i,2)\Delta ^{3}y+\ldots \,;$

multiplant par $\operatorname {d} i,$ et intégrant entre les limites $0$ et $1\,;$ on trouvera, en vertu de ce qui précède,

$\Delta \int y\operatorname {d} x=y+A_{0}\Delta y-A_{1}\Delta ^{2}y+A_{2}\Delta ^{3}y-A_{3}\Delta ^{4}y+\ldots \,;\qquad$(6)

en observant qu’entre ces limites $\int y_{i}\operatorname {d} i=\Delta \int y\operatorname {d} x.$ Intégrant la formule (6) par rapport à $\Delta ,$ on aura

$\int y\operatorname {d} x=\Sigma y+A_{0}y-A_{1}\Delta y+A_{2}\Delta ^{2}y-\ldots +Const.\,;\qquad$(7)

d’où, en transposant et changeant de constante