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SÉRIES

$\operatorname {Sin} .z={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}},\qquad \operatorname {Cos} .z={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}\,;$

mettant ces valeurs dans l’équation (3), elle deviendra

$z={\frac {1}{2{\sqrt {-1}}}}\left\{\operatorname {Log} .\left[1-{\frac {x}{1+x^{2}}}\left(x-{\sqrt {-1}}\right)\right]\right.$

$\left.-\operatorname {Log} .\left[1-{\frac {x}{1+x^{2}}}\left(x+{\sqrt {-1}}\right)\right]\right\}.$

En développant le second membre de cette équation en deux séries et réunissant les termes correspondans, on tombe précisément sur la formule donnée par M. Kramp, à la page 29 de ce volume, et qui se trouve ainsi établie sans induction.

Désignons l’angle droit par $q,$ et faisons, dans l’équation (3) $z=q-u,$ nous trouverons

$q-u={\frac {1}{2{\sqrt {-1}}}}\left\{\operatorname {Log} .\left[1-\operatorname {Cos} .u\left(\operatorname {Cos} .u-{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .u\right)\right]\right.$

$\left.-\operatorname {Log} .\left[1-\operatorname {Cos} .u\left(\operatorname {Cos} .u+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .u\right)\right]\right\}\,;$

développant le second membre, et observant que

${\frac {\left(\operatorname {Cos} .u+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .u\right)^{n}-\left(\operatorname {Cos} .u-{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .u\right)^{n}}{2{\sqrt {-1}}}}=\operatorname {Sin} .nu,$

nous aurons, en changeant $u$ en $z$,

$q-z={\frac {\operatorname {Cos} .z}{1}}\operatorname {Sin} .z+{\frac {\operatorname {Cos} .^{2}z}{2}}\operatorname {Sin} .2z+{\frac {\operatorname {Cos} .^{3}z}{3}}\operatorname {Sin} .3z+\ldots$

série très-régulière.

IV. En intégrant par parties, on trouve

$\int {\frac {x^{m}\operatorname {d} x}{\left(1+x^{2}\right)^{n}}}={\frac {x^{m+1}}{m\left(1+x^{2}\right)^{n}}}+{\frac {2n}{m}}\int {\frac {x^{m+2}\operatorname {d} x}{\left(1+x^{2}\right)^{n+1}}}\,;\qquad$(4)